Vol.6, #5, Jun./Jul 2004
http://revista-redes.rediris.es
Estimación y evaluación de Modelos estructurales centro-periferia
García Muñiz, Ana
Salomé; Ramos Carvajal, Carmen; Álvarez Herrero, Rubén; Fernández Vázquez,
Esteban – Universidad de Oviedo[1]
Resumen
Resulta revelador intentar
plasmar la idea referida a un conglomerado de agentes que constituyan un núcleo
alrededor del cual gire la actividad objeto de estudio. La concepción de una
estructura formada por un centro y una periferia, constituye un paradigma
clásico y recurrente en muchos campos de la ciencia.
Siguiendo esta línea, los investigadores Stephen
Borgatti y Martin Everett desarrollan un modelo estructural en 1999 basado en
la delimitación de un centro formado por un conjunto de actores fuertemente
relacionados, esto es, un grupo cohesivo y con alta densidad de
interrelaciones. En contraposición, los agentes dispersos y poco conectados de
la red delimitan la periferia del sistema.
El enfoque original de los
autores es modificado empleando medidas que creemos, aportan un mayor grado de
coherencia y exactitud a los objetivos planteados. En este trabajo, sin perdida
de generalidad nos centramos en la estimación y posteriormente en la
evaluación, de modelos centro-periferia basados en grafos valorados.
Palabras clave: redes sociales, análisis estructural, modelos centro-periferia.
Abstract
The conception of a structure made up of a core and periphery is a common, classic paradigm in many fields of science. Following this line, in 1999 researchers Stephen Borgatti and Martin Everett developed a model of structural analysis based on the delimitation of a core formed by a group of densely connected actors, in contrast to a class of actors, more loosely connected and forming the periphery of the system.
The original approach of these authors is modified,
employing measures that, in our opinion, show a larger degree of coherence and
accuracy in the proposed objectives.
Key words: network theory, structural analysis, core-periphery
models.
1. Introducción
Resulta revelador intentar plasmar la idea referida a un conglomerado
de agentes que constituyan un núcleo alrededor del cual gire la actividad
objeto de estudio. La concepción de una estructura formada por un centro y una
periferia, constituye un paradigma clásico y recurrente en muchos campos de la ciencia.
Siguiendo esta línea, los investigadores Stephen Borgatti y Martin
Everett desarrollan en 1999 un modelo de análisis estructural basado en la
delimitación de un centro formado por un conjunto de actores fuertemente
relacionados, esto es, un grupo cohesivo y con alta densidad de
interrelaciones. En contraposición, los agentes dispersos y poco conectados de
la red delimitan la periferia del sistema.
El enfoque original de los autores es modificado empleando medidas que
creemos, aportan un mayor grado de coherencia y exactitud a los objetivos
planteados. En este trabajo, sin perdida de generalidad[2] nos
centramos en la estimación y posteriormente en la evaluación, de modelos
centro- periferia basados en grafos valorados. Se concluye con una breve síntesis
de los resultados obtenidos.
2. Modelo centro-periferia. Planteamiento general
Siguiendo la línea de desarrollo iniciada
por Borgatti y Everett (1999), es posible reconstruir un modelo donde se
determine el centro o núcleo de la actividad frente a aquellos nodos que
constituyen la periferia de la misma. La delimitación de las zonas de interés
se basa en la comparación de una estructura ideal con los datos disponibles de
la red, asumiendo que aquellos actores con unas relaciones más intensas serán
los que constituyan el núcleo central.
La medida de proximidad entre la
estructura real y teórica propuesta por Borgatti y Everett es:
|
|
|
Donde 
muestra la presencia
de relaciones observadas entre los nodos i-ésimo
y j-ésimo, dij indica la existencia de interrelaciones entre los actores en la
matriz imagen ideal centro-periferia, y ci es el grado de
centralidad del actor i-ésimo, tal que 
.
La estructura teórica contendrá valores
relativamente elevados para aquellos pares de actores que mantengan un alto
nivel de centralidad (coreness), mientras que valores intermedios
corresponderán a aquellos casos en los que sólo uno de los nodos muestra una
posición central, por último, los actores pertenecientes a la periferia
llevarían aparejados valores de pequeña cuantía.
La estimación de los valores correspondientes al centro (ci),
se efectúa a partir de un proceso de maximización de la correlación entre las
estructuras teórica y real. Sin embargo,
dicho procedimiento no resulta, en general, correcto dado que la existencia de
una alta correlación entre las estructuras, no supone, necesariamente, que
ambas sean idénticas, sino sólo que se comportan igual. El coeficiente de correlación mide la fuerza
de la relación entre dos variables, y el sentido de la misma, pero no la
coincidencia o concordancia del valor de
sus observaciones. De hecho, un cambio en las unidades de medida de una de las
magnitudes no afectaría a la correlación, aunque si indudablemente a la
concordancia.
En otro orden de cosas, tampoco el método
empleado en la resolución del problema de maximización resulta idóneo. El
algoritmo iterativo aplicado- propuesto por Fletcher y Powell-, introduce
variabilidad en sus resultados según cuál sea el punto de partida considerado,
lo cual cuestiona la unicidad y representatividad de la solución ofrecida al
existir la posibilidad de presentar como solución un máximo que sólo sea local,
y no el global de la función (Everitt, 1987).
La conjunción de una medida de partida
potencialmente confusa junto con las limitaciones del procedimiento de
resolución aplicado, plantean la necesidad de afrontar una reforma de la
metodología en una doble vertiente, estimación de coeficientes y análisis de
bondad, cuestiones abordadas en los siguientes epígrafes.
3. Proceso de
estimación
Con la finalidad de intentar resolver el
primer problema señalado, proponemos emplear medidas derivadas de la teoría de
la información con el objetivo de
estimar la estructura teórica que presente mínima divergencia con la estructura
real objeto de estudio.
Una de las medidas pioneras de la teoría
de la información es la denominada entropía de Shannon, la cual junto con otras
medidas similares, han sido empleadas como indicadores de la diversidad
existente dentro de una población[3].
La entropía de
una distribución puede ser entendida como el desorden existente en la misma, es
decir, la incertidumbre asociada a un determinado fenómeno. Dicha incertidumbre
puede ser cuantificada a partir de un sistema de probabilidad. Así, si un
fenómeno lleva asociado una distribución de probabilidad uniforme, presentará
una mayor carga de incertidumbre que cualquier otro.
A partir de la medida de entropía propuesta por Shannon, Kullback y Leibler (1951) introducen una
medida de divergencia entre dos distribuciones. Consideremos dos variables
aleatorias discretas X e Y cuyas probabilidades asociadas son 
y 
, respectivamente. Se define la distancia de Kullback-Leibler
como la expresión que sigue:
D(P,Q)=
Siguiendo la línea desarrollada por
Golan, Judge y Robinson (1994) se plantea la siguiente expresión a partir de la
divergencia anterior de Kullback y Leibler, consideradas dos distribuciones de
probabilidad conjuntas recogidas en 
y 
:
|
|
|
Dicha medida permite detectar la
divergencia entre dos distribuciones bidimensionales discretas. Además, ofrece
una alternativa a la estimación de la matriz teórica 
que suponga la mínima divergencia con la estructura real
objeto de estudio
.
La especificación del modelo centro versus periferia, a partir de la delimitación de un conglomerado
de nodos que constituya un núcleo generador de actividad, se inspira en el
principio de mínima entropía sujeto a una serie de restricciones:
|
Min s.a.
|
|
Donde pij y qij corresponden respectivamente a
las proporciones de conexiones teóricas y observadas 
en las estructuras
consiguientes recogidas en la Tabla Nº 1:
Tabla Nº 1. Organigrama de estructuras
RED TEÓRICA
|
|
|
RED REAL
|
||||||||
|
|
1 |
... |
n |
|
|
|
1 |
… |
n |
||
|
1 |
d11 |
… |
d1n |
|
|
1 |
x11 |
… |
x1n |
||
|
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
||
|
n |
dn1 |
… |
dnn |
|
|
n |
xn1 |
… |
xnn |
||
de tal forma que:
La solución al proceso de minimización
planteado se obtiene utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange[4],
cuya expresión es (Golan, et. al. 1994):
|
|
|
Donde
|
|
|
y 
representa los
multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones.
Es interesante destacar algunas de las
propiedades del proceso de minimización generado a partir de la entropía
cruzada[5],
tales como la unicidad de la solución, que muestran que este procedimiento es
potencialmente más adecuado que el algoritmo empleado por Borgatti y Everett el
cual no permite garantizar la representatividad de la solución[6].
El método planteado permite además ofrecer estructuras similares en las cuales
se conserven tanto los ceros como la intensidad de las variables. Los
coeficientes qij importantes
o relativamente elevados son representados por pij también relativamente considerables en
la matriz teórica y, los coeficientes que son nulos o positivos en la matriz
observada, seguirán el mismo patrón en la estructura imagen[7].
La posible inclusión además de ecuaciones no lineales, junto con desigualdades
supone una ventaja operacional de la que otros métodos menos rápidos y
eficientes carecen. Este rasgo permite la inclusión de información adicional
derivada de otras fuentes o estudios, en la medida en la que sea posible su
definición a partir de apropiadas ecuaciones.
Dado que nuestro interés es la
determinación de los índices de centralidad (ci), para diferenciar
los actores centrales de los periféricos, se debe proceder a su estimación a
partir de los resultados obtenidos anteriormente (pij).
Puesto que por construcción pij=
, las conexiones
teóricas entre un par de actores i-ésimo
y j-ésimo se pueden determinar un
sistema de ecuaciones como el que sigue:
|
|
|
A partir del cual
se establecen los índices de centralidad como[8]:
|
|
|
4. Análisis de
bondad
La adaptación de la matriz teórica a la
matriz observada, constituye un punto de análisis interesante y posterior a la
determinación de los datos necesarios en nuestro modelo. Se presentan, para
ello, dos posibles líneas de trabajo con el objetivo de estudiar la fiabilidad
del modelo planteado.
La primera mantiene el hilo conductor
derivado de la teoría de la información. La distancia de Kullback y Leibler
sobre las variables bidimensional supone una medida del grado de exactitud
entre las estructuras consideradas. La
segunda vía de estudio ofrece un análisis gráfico del nivel de concordancia
existente entre las redes planteadas a partir de la definición de límites de
concordancia a un nivel de confianza 
.
4.1. Divergencia
distributiva
Una medida de divergencia directa
extensamente aplicada por sus adecuadas propiedades es la distancia de Kullback
y Leibler (1951), empleada ya en el proceso de estimación.
Dadas dos distribuciones de probabilidad 
y 
, un indicador de la divergencia entre dos distribuciones de
probabilidad puede ser entendido como
una medida del error cometido al considerar que la distribución correcta es q.
Su expresión es la que sigue:
|
|
|
Muestra, por tanto, la ineficiencia o el
error cometido al asumir que la distribución correcta es q cuando en realidad lo es la distribución desconocida p.
Medida acotada
inferiormente por cero
, alcanzará dicho valor, si y sólo si, p=q. Y a medida que la divergencia entre las
distribuciones sea mayor, dicho indicador crecerá[9]. Además debe considerarse que 
, lo cual resulta un rasgo relevante en la decisión de la
matriz sobre la cual se realiza la comparación.
Considérese ahora dos distribuciones de probabilidad bidimensionales y 
, cuyos elementos pij y qij, definidos
anteriormente, corresponden respectivamente a las proporciones de relaciones
teóricas
y observadas .
La distancia de
Kullback y Leibler (1951) asociada a estas variables bidimensionales, con
comportamiento análogo al anteriormente expresado para una variable
unidimensional, ofrece un indicador de la concordancia existente entre la
estructura teórica y real:
|
|
|
4.2. El método
de altam-bland
El
método desarrollado por Altam-Bland (1986) permite visualizar gráficamente el
nivel de concordancia existente entre las dos estructuras consideradas.
Sea mij,
la relación i-ésima[10] especificada
en la matriz j-ésima, la información
disponible podrá ser resumida en una tabla de doble entrada como la expuesta a
continuación, donde el tamaño de muestra (n) para cada una de las dos
situaciones experimentales- tablas real y teórica- coincide.
Tabla Nº 2
|
|
Red |
|
Observaciones |
Observada Teórica |
|
1 … i … n |
|
La representación de la nube de puntos de las observaciones
consideradas junto a la bisectriz del primer cuadrante, supone una aproximación
inicial e intuitiva al grado de concordancia existente. De forma que, cuanto
mayor sea la proporción de datos sobre la línea mencionada, menor será la
discrepancia existente entre los resultados estimados y observados.
Gráfico Nº 1
m2
Donde m1 y m2 representan los datos relacionales
de la red observada y teórica respectivamente.
Dado que,
previsiblemente, ambas estructuras divergirán en el grado de sus
interrelaciones, resulta interesante medir el grado de concordancia alcanzado.
El coeficiente de correlación usualmente empleado con este fin no
resulta, como ya se ha comentado, adecuado por lo que la siguiente
representación supone una alternativa sencilla que proporciona dos límites
aleatorios entre los que con cierta probabilidad o confianza 
, se halle comprendido el nivel de divergencia existente
entre las estructuras analizadas.
Sea D la variable diferencia resultante de la comparación de la
estructuras de las dos redes, y M la media de las observaciones respectivas de
las mismas. La gráfica de la nube de puntos que representa a las variables
media y diferencia se representa en el gráfico Nº 2.
Gráfico Nº 2
l
l l l l
La delimitación de una banda en la cual se sitúen discrepancias
pequeñas entre ambas redes se puede generar como 
. De hecho, si la variable diferencia se distribuyese
normalmente, aproximadamente el 95% de las mismas se situarían dentro de los
límites establecidos como 
.
Si las divergencias observadas entre las dos estructuras se sitúan
dentro de los extremos establecidos, denominados límites de concordancia, no
resultarán significativas y se puede considerar las redes como potencialmente
intercambiables dada su similitud. En caso de que no haya un error sistemático
los puntos se distribuirán de forma aleatoria a uno y otro lado de la recta que
represente la diferencia nula[11].
Dado que estos límites son estimaciones puntuales aplicadas al conjunto de la
población, deben ser complementadas con sus intervalos de confianza respectivos[12], las
bandas aleatorias a las cuales pertenecerán los parámetros desconocidos con
cierto nivel de confianza bajo el supuesto de
normalidad[13]:
La
representación gráfica donde se recogen estos límites aparece en el gráfico
siguiente, tal que la línea pespunteada gruesa representa la banda de
concordancia y sus límites inferiores de confianza son delimitados por
pespuntes finos.
Gráfico Nº 3
5. Conclusiones
Los modelos centro-periferia desarrollados por Borgatti y Everett
(1999), constituyen una herramienta de análisis de valiosa utilidad, que son
capaces de modelizar la idea clásica de la existencia de una estructura
constituida por un núcleo activo, formado por un entramado denso y compacto de
actores, frente a un conglomerado disperso en sus relaciones y poco conectado.
El proceso de estimación aplicado por
estos autores presenta sin embargo, una serie de restricciones. La conjunción
de una medida de partida potencialmente confusa junto con las limitaciones del
procedimiento de resolución, plantean la necesidad de afrontar una reforma de
la metodología en una doble vertiente, estimación de coeficientes y análisis de
bondad, cuestiones abordadas en el presenta trabajo.
6. Bibliografía
Bland,
J. Martin, Altam, Douglas G. (1986). “Statistical methods for assessing
agreement between two methods of clinical measurement”. Lancet, i, pp.307-310.
Bland, J. Martin,
Altam, Douglas G. (1999). “Measuring agreement in method comparison studies”. Statistical Methods in Medical Research,
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tables”. Proceedings of the 21st Annual Conference of the
Gesellschaft für Klassifikation e.V.,
Blien, Uwe,
Tassinopoulos, Alexandros (2001). “Forecasting regional employment with the
ENTROP method”. Regional Studies, Vol. 35, Nº 2, pp.113-124.
Borgatti, Stephen
P., Everett, Martin G. (1999). “Models of Core/Periphery Structures”. Social
Networks, Nº 21, pp. 375-395.
Cover, Thomas M.,
Thomas, Joy A. (1991). Elements of Information Theory.
Everitt, Brian
(1987). Introduction to optimisation methods and their application in
statistics.
Golan Amos, et. al. (1994). “Recovering information from
incomplete or partial multisectoral economic data”. The Review of Economics and Statistics, Nº 76, pp. 541-549.
Kullback, Solomon,
Leibler, Richard A. (1951). “On information and sufficiency”, Annals of
Mathematical Statistics, Nº 22, pp. 79-86.
Lin,
Lin,
Rao, C.
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, responde a:
